Was passiert hier?
Das Newton-Verfahren ersetzt den Graphen lokal durch seine Tangente. Deren Schnittpunkt mit der x-Achse liefert den nächsten Näherungswert.
Iteration
0
Aktuelle Näherung
x0 = 1.800
Restfehler
|f(x0)| = 2.032
Wähle eine Funktion und einen Startwert \(x_0\). Mit dem Regler für n blendest du die Newton-Schritte nacheinander ein: Punkt auf dem Graphen, Tangente und neuer Schnittpunkt mit der x-Achse.
Funktionsgraph
Tangente bei \(x_n\)
Neuer x-Wert \(x_{n+1}\)
Rechnung im aktuellen Schritt
\(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\)
| n | xn | f(xn) | x(n+1) |
|---|
Funktion wählen
Die kubische Funktion besitzt eine reelle Nullstelle. Mit einem Startwert rechts von 1 konvergiert das Verfahren zügig.
Worauf achten?
Erhöhe n, um die Folge x_0, x_1, x_2, \ldots sichtbar zu machen. So wird die Annäherung Schritt für Schritt nachvollziehbar.
- Der Startwert \(x_0\) legt fest, von welchem Punkt auf dem Graphen das Verfahren startet.
- Die Tangente bei \(x_n\) liefert mit ihrem Schnittpunkt auf der x-Achse den neuen Wert \(x_{n+1}\).
- Das Steigungsdreieck zeigt anschaulich die lokale Steigung \(f'(x_n)\).
Worauf du achten kannst
- Ein guter Startwert beschleunigt die Konvergenz.
- Eine fast waagrechte Tangente ist problematisch.
- Tabelle, Formel und Grafik zeigen denselben Schritt.
Didaktischer Hinweis
Das Applet ist auf Verständnis ausgelegt: Jede Iteration wird gleichzeitig gerechnet, dargestellt und sprachlich eingeordnet.